DEFINICIÓN TOPOLÓGICA DE LÍMITE FUNCIONAL.

A lo que hace referencia la palabra topológica es a usar entornos en los límites.

NOTACIÓN:

1º se fija el entorno de l: 

Cualquier entorno de l existe un entorno de Xº tal que f de ese entorno (todas las imágenes del entorno) pertenecen al entorno de l.

Límite de una función:

Significado de *: no importa donde esté la imagen de f(x).

EJEMPLO

PROPOSICIÓN: 

CONCEPTOS DE IMAGEN.

1. IMAGEN DE UNA FUNCIÓN 

      2. IMAGEN DE UN NÚMERO

    

      3.IMAGEN DE UN SUBCONJUNTO

ENTORNOS DE SUCESIONES Y FUNCIONES.

• En el tema anterior que trataba de sucesiones, vimos que una sucesión se decía que era "acercarse a", a partir de esa expresión podemos plantear los diferentes entornos que tiene una sucesión:

• De esta forma, una sucesión va del conjunto -R al conjunto R: 

• Como ya vimos anteriormente, una función se define como: 
  

Podemos tener varios casos de entornos en las sucesiones: 

1.

En el que podemos obtener el entorno reducido de Xo:

                                     Entornos laterales de Xo:

                      2. 

 

De donde obtenemos el entorno de Yo:

EJERCICIOS DE FUNCIONES.

Ejercicio 1: Expresa esta función como operaciones de f, g y h.

Ejercicio 2:   A.Utilizando la división entera de polinomios, transforma la función de forma que no se vea como cociente.
B. Dibuja su gráfica poniéndola como operaciones de otras más sencillas.

TIPOS DE FUNCIONES

1. Función polinómica, la función polinómica viene definida por un polinomio:

f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n xⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Puede haber muchas funciones polinómicas: 

• DE GRADO 0: Función constante
• DE GRADO 1: Función afín
• DE GRADO 2: Función cuadrática
• ETC

     2. La función potencial esta definida para los números reales y su gráfica depende del                             exponente.

    3.Función racional: es el cociente de polinomios.

OPERACIONES CON FUNCIONES 2.

• COMPOSICIÓN

 Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

-Tiene las mismas propiedades que la suma (asociativa, elemento neutro y elemento simétrico) pero no es conmutativa.

 Veamos un ejemplo de composición:

OPERACIONES CON FUNCIONES.

1. Suma: f+g : R-----> R
                                     
2. Resta:
   
                                     
3. Producto:
   
4. Producto por escalar: 
   
5. Cociente:
   
6. Potencia: