INTRODUCCIÓN DE DERIVADAS.

• Tasa de variación instantánea:

• Una función es derivada cuando es derivable en todos los puntos de su dominio.

• Derivada lateral de un función f en xº:

• Proposición: si una función es derivable en xº entonces es derivable por la izquierda y por la derecha en xº.

Función derivada de f (f ')

• Relación entre el dominio de f y f '.

Cuando la f es derivable:

 Cuando la f no es derivable:

• Ejercicio de aplicación de la tasa de variación media:

• Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto:

Observaciones:

1.  TVM1= TVM2 porque acaban en el mismo punto.
2. TVM (g[ x1 , x2 ]
3. La secante en el límite termina siendo la tangente.

• Ecuación de la recta tangente

 Punto: [x1 , g(x1)]

Pendiente: g(x1)

• Ecuación de la recta normal (recta perpendicular a la tangente)

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.

m*m'= -1

 

• Gráficas donde la derivada es igual a 0:

• Si una función es derivable por la izquierda y por la derecha en un punto y las derivadas laterales coinciden, eso no implica que haya recta tangente.

COMPARACIÓN DE INFINITOS.
Tres ejemplos de ∞ en +∞ son:

• Funciones potenciales (solo las que tienen el exponente positivo)
• Funciones exponenciales (si la base es mayor que 1)
• Funciones logaritmicas

Comparación de funciones potenciales:

Comparación de exponenciales:

EJERCICIOS DE LIMITES E INDETERMINACIONES.

EJERCICIO 1:

EJERCIO 2:

TEOREMA DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

INFINITOS E INFINITÉSIMOS

• INFINITO

1.  DEFINICIÓN

    Ejemplos de infinitos:

    2. COMPARACIÓN DE INFINITOS

   f y g son infinitos en xº :

Para resolver una comparación de infinitos hay que:

• Si el límite da un número real se dice que son del mismo orden; y si da 1, son equivalentes.
• Si da 0, se dice que f es de orden menor a g.
• Si da + o - ∞ se dice que es de orden superior que g.

   Ejemplo de comparación de infinitos:

  Proposición: En el cálculo de un producto o cociente, si un factor es un ∞ puedo sustituirlo por    un ∞ equivalente.

• INFINITÉSIMO

1. DEFINICIÓN

Ejemplos de infinitésimos:

 2. COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS

  f y g son infinitésimos en xº. 

Para resolver un infinitésimo hay que:

Ejemplo de comparación de infinitésimos:

RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

• Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. El primer paso se resuelve operando convenientemente. El según e resuelve multiplicando numerador y denominador por el conjugado.

• Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del conciente polinómico.

• Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o de funciones irracionales. El primer caso se resuelve factorizando los polinomios numerador y denominado por Ruffini. El segundo se resuelve multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.

• Aparecen al calcular los límites de cocientes de funciones. Se resuelven estudiando los límites laterales.

• Se resuelven transformandolas en las del tipo ∞/∞ o en las del tipo 0/0.

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN 

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

• ASÍNTOTA HORIZONTAL

Son paralelas al eje OX.

1. y=yº recta horizontal
2. y=y1 recta horizontal de f.

• ASÍNTOTA OBLICUA

Es la recta y=mx+n

• f tiene una asíntota oblicua si :  
• Se estudian cuando no hay asíntotas horizontales.

EJEMPLO:

• ASÍNTOTA VERTICAL

Si existe un número "a" en el que:

EJEMPLO:

CONTINUIDAD LATERAL EN UN PUNTO.

PROPOSICIÓN:

Hay que estudiar la continuidad lateral en aquellos casos donde haya una una discontinuidad de salto finito.

Hay dos tipos de saltos en una continuidad:

• De salto finito
• De salto infinito

Si uno de ellos, al menos, es +∞ o -∞ 

Discontinuidad de salto infinito:

 Discontinuidad asintótica:

  1. Salto infinito por la derecha

    2. Salto infinito por la izquierda

  3.Continua por la izquierda en Xº

Tipos de discontinuidades:

• Evitable
• De primera especie. En las que podemos encontrar:

1. De salto finito
2. De salto infinito 
3. Asintótica

• De segunda especie

LÍMITES FUNCIONALES LATERALES.

(están en relación con los entornos laterales)

1. Límites funcionales por la izquierda.

2.Límites funcionales por la derecha.

EJEMPLO:

Se le llama salto al valor absoluto de la diferencia de los límites laterales.

Proposición en relación a los límites: 

-Relación entre el límite global con los límites que van a la izquierda y a la derecha.

Las recíprocas de estas proposiciones no son ciertas.

Si unimos las dos proposiciones anteriores queda: