TEMA 10. FUNCIONES

• FUNCIÓN:  una función (f) es una relación entre un conjunto dado X y otro conjunto de elementos Y, de forma que a cada elemento X le corresponde un único elemento f(x).

Si dos imágenes son distintas no pueden venir de una misma x, es a lo que se le llama aplicación.

• TIPOS DE FUNCIONES: 

1. Función constante: Se dice que una función f(x) es continua en un punto      x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

 

    2. Función identidad.:  f(x) = x

• CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

       1. Gráfica:
       -Función constante:

    -Función identidad: 

   2. Dominio

   El dominio de una función es el conjunto de elementos que tienen una imagen.

  -Función constante: Dom c = R

  -Función identidad: Dom Id = R

  3. Imagen o recorrido. 

  Conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

EJEMPLO: 

En esta gráfica podemos observar que la imagen son todos los números reales ya que esta representación no indica un final determinado; y el dominio al igual que la imagen son los números reales debido a que al dibujar una recta paralela al eje Y, en todos los putos va a cortar a la línea que indica la función.

4.Función inyectiva: 

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio.

Para determinar si una función es inyectiva, realizamos la gráfica de la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

INDETERMINACIONES DE UNA SUCESIÓN

• Indeterminaciones: aquellos casos donde los límites no funcionan bien. 

1. SUMA a(n)+b(n)

    2. RESTA a(n)-b(n)

   3. PRODUCTO a(n)*b(n)

  4. DIVISIÓN a(n):b(n)

EJERCICIO: 

 PASOS PARA RESOLVER UNA INDETERMINACIÓN 

1. Operar
2. Factorizar
3. Simplificar

CÁLCULO DE LÍMITES

• SUMA

• RESTA

• MULTIPLICACIÓN

• DIVISIÓN
  

• POTENCIA

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

• Una sucesión de un número real tiene por límite un número ral a cuando para todo número real positivo se puede encontrar un número natural, de modo que a partir de él todos los términos de la sucesión están en torno a E. 

-¿CERCA DE 0?

1. Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente entonces el límite es convergente.
2. Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente entonces el límite es divergente.

OPERACIONES CON SUCESIONES

• Igualdad de sucesiones: dos sucesiones son iguales si sus correspondientes términos son iguales.
  

• Sucesión raíz cuadrada: la sucesión raíz cuadrada de otra dada es la que se obtiene extrayendo la raíz cuadrada de los términos.

• Sucesión potencial-esponencial: 

REFLEXIÓN Y CORRECCIÓN DEL PASADO EXAMEN 18/02/2016

El pasado 18 de febrero realizamos un examen en el que se incluían tres temas: Números complejos el cual era completamente nuevo para nosotros; un segundo tema sobre vectores, ya dado en el curso anterior aunque este con más contenido; y un tercero sobre cónicas que al igual que el primero no teníamos ninguna idea sobre él. 
El examen constaba de 6 ejercicios bastante complejos para el conocimiento que teníamos, en ellos se incluía algún apartado en el que había que demostrar ciertas cuestiones, los cuales no sabía como hacer muy bien. A continuación voy a comentar mi examen:
EJERCICIO 1: constaba de una ecuación de números complejos la cual no supe como resolver.
EJERCICIO 2: este ejercicio era sobre vectores, el apartado a era una cuestión sobre si el sistema S=(û,^v) ex una base de V2 el cual comparado con el examen corregido del profesor coincide la respuesta. El apartado b tambien coincide, el c esta bien y el d está mal.
EJERCICIO 3: el apartado está mal ya que al calcular los lados no tengo el mismo resultado; el apartado b también me da 45º; el c no le hice y el d tengo la mitad bien.
EJERCICIO 4: no le tengo resuelto.
EJERCICIO 5: tengo bien la excentricidad, también me da una hipérbola, la c me da igual. Y el apartado b no le hice ya que no sabía como había que resolverlo.
EJERCICIO 6: le tengo entero bien pero me faltan calcular 3 elementos de la hipérbola, la distancia focal, los ejes transversos menor y mayor.

SUCESIONES MONÓTONAS

• Sucesiones monótonas crecientes: una sucesión es monótona creciente cuando cada término es menor o igual que el siguiente.

• Sucesiones estrictamente crecientes: una sucesión es monótona decreciente cuando cada término es menor que el término siguiente.

• Sucesiones monótonas decrecientes: una sucesión es monótona decreciente cuando cada término es mayor o igual que el siguiente.

• Sucesiones estrictamente decrecientes: una sucesión es estrictamente decreciente cuando cada término es mayor que el siguiente.

Por lo tanto obtenemos que:

EJERCICIO:

SUCESIONES ACOTADAS.

• Sucesiones acotadas superiormente: una sucesión está acotada superiormente por un número real K si todos lo términos de la sucesión son menores o iguales que K. A K se le llama cota superior de la sucesión.

• Sucesiones acotadas inferiormente: una sucesión está acotada inferiormente por un número P si todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que P. A P se le llama cota inferior de la sucesión.

• Sucesiones acotadas: una sucesión está acotada si lo está superior e inferiormente. 

SUCESIONES.

• Una sucesión es una secuencia de números reales, ordenado uno detrás de otro. Cada uno de estos términos se denomina término y se designan por:

FORMAS DE EXPRESAR UNA SUCESIÓN:

1. De término general: cuando conocemos la fórmula de un término cualquiera o término general. A partir de esta fórmula se puede conocer cualquier término de la sucesión.
2. Ley de recurrencia: cuando conocemos la relación entre cualquier término y los anteriores.

EJERCICIOS: