EJERCICIO 3 EXAMEN PARA CASA

Una barra de longitud constante AB se desliza sobre una semicircunferencia, de modo que sus extremos A y B están siempre sobre la circunferencia. En cada posición de la barra proyectamos los extremos de la misma sobre el diámetro de la semicircunferencia y construimos el triángulo de vértices MPR, siendo M el punto medio de la barra. ¿Cómo evoluciona este triángulo?

A) Elabora una construcción dinámica con GEOGEBRA que permita ver dicha evolución.

B) Demuestra, utilizando el teorema de Tales, que el triángulo MPR es isósceles.

EJERCICIO 2 (examen para casa)

• Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho poco distaba 30,40, 50 m de las esquinas del claustro.

Realizamos un sistema para calcular el lado del cuadrado empleando el teorema del coseno:

EXAMEN PARA CASA TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 1:

Incentro: punto de intersección de las bisectrices de 2 ángulos interiores cualesquiera de dicho triángulo.

Para poder saber que es o no una corona circular debemos calcular el área que se encuentra entre ambas circunferencias.

Para calcular el área total de la figura, primero calculamos el lado c y así obtener el radio del círculo grande y conseguir el área; calculamos el radio del círculo pequeño mediante la tangente de B y de ahí obtener dicho área; restamos ambas áreas y obtenemos el área entre los 2 círculos.
 
No es una corona circular ya que las dos circunferencias no son concéntricas.

Fórmula de Herón

En las expresiones anteriores, es necesario conocer las medidas de alguno de sus lados y de los ángulos; para ello, empleamos la fórmula de Herón.

Expresiones del área de un triángulo

Sabemos que el área de un triángulo es:

A= (b*h)/2

Utilizando la expresión del valor del seno del ángulo A en el triángulo obtenemos:

                                                           sen A= h/b

Llevando el valor de la altura (h) a la fórmula del área de un triángulo:

• El área de un triángulo puede calcularse mediante el producto de un medio por un lado, por otro lado y por el seno del ángulo comprendido entre ambos lados.

Resolución de triángulos cualesquiera:

Resolver un triángulo cualquiera es determinar en él todos sus elementos conocidos.

• Para resolver un triángulo cualquiera, tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:

1. La suma de sus ángulos es igual a 180º.
2. El teorema de los senos.
3. El teorema del coseno.

Teorema del coseno.

El teorema del coseno afirma que, en un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

DEMOSTRACIÓN:

Dado el triángulo: 

Resolvemos:

El teorema del coseno se utiliza en todos aquellos casos en los cuales intervienen triángulos de los que conocemos más lados que ángulos. En los otros casos utilizamos el teorema del seno.

Con el teorema del coseno podemos calcular:

1. Un ángulo de un triángulo del que son conocidos sus tres lados.
2. Un lado del triángulo conocidos los otros dos y el ángulo comprendido entre ellos.

Teorema de los senos.

El teorema de los senos afirma que, en un triángulo cualquiera, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

DEMOSTRACIÓN:

Dado el triángulo:

Tenemos: 

El teorema de los senos se emplea para:

1. Calcular el lado de un triángulo, conociendo su ángulo opuesto, otro lado y su ángulo opuesto.
2. Calcular un ángulo, conociendo su lado opuesto, otro ángulo y su lado opuesto.

Reducción de un ángulo al primer giro y al primer cuadrante.

• Dos ángulos α, k * 360º + α, que difieren en un número entero de vueltas, son equivalentes:

y sus razones trigonométricas coinciden.

• Reducir un ángulo al primer cuadrante es expresar sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante.

Relaciones entre las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Para cualquier ángulo α, las líneas trigonométricas que definen el seno y coseno del ángulo α forman junto con el radio, de longitud uno, un triángulo rectángulo OAP. 

Aplicando el teorema de Pitágoras en este triángulo, tenemos :

Esta igualdad se conoce con el nombre de relación fundamental de la trigonometría.

En la siguiente igualdad aparecen las tres razones trigonométricas más importantes:

Dividiendo en la relación fundamental obtenemos:

Signo de las razones trigonométricas

El signo de las razones trigonométricas seno y coseno, en cada uno de los cuadrantes, viene dado por el signo que en este tengan la ordenada y la abscisa. El signo de la tangente se obtiene por el cociente.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera:

Las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera se definen por la siguiente manera:

• sen α = ordenada de P/ radio = y/r
• cos α = abscisa de P / radio = x/r
• tg α = ordenada de P / abscisa de P = y/x

LÍNEA DEL TIEMPO, LOS FILÓSOFOS MATEMÁTICOS.

1.-  Tales de Mileto   625 aC - 547 aC 
2.-  Anaximandro de Mileto  610 aC - 546 aC 
3.-  Pitágoras de Samos   570 aC - 469 aC 
4.-  Filolao de Tarento   470 aC - 385 aC 
5.-  Eudoxo de Cnido   390 aC – 337 aC 
6.-  Aristarco de Samos   310 aC - 230 aC 
7.-  Eratóstenes de Cirene  276 aC – 194 aC 
8.-  Apolonio de Perga   262 aC - 190 aC 
9.-  Hiparco de Nicea   190 aC - 120 aC 
10.- Menelao de Alejandría  70 dC – 140 dC 
11.- Claudio Ptolomeo de Alejandría 90 dC - 168 dC 

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS POR TRIGONOMETRÍA

1. La suma de los dos ángulos agudos es igual a 90º: B+C = 90º
2. Teorema de Pitágoras: h^2 = a^2 + b^2
3. Razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

Un triángulo rectángulo queda determinado cuando conocemos al menos 2 de sus elementos que no sean 2 ángulos agudos.

Seguimos con trigonometría...

Los ángulos se pueden medir con grados, minutos y segundos pero la mejor forma de medida son los radianes.
Un radián es el ángulo central que abarca un arco que mide un radio (rad).

• Un ángulo completo(360º): mide 2 pi radianes
• El ángulo llano (180º) mide pi radianes
• El ángulo recto (90º) mide pi/2 radianes
• 45º = pi/4 radianes
• 30º = pi/6 radianes
• 60º = 2pi/3 radianes

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º Y 60º

TEMA 4: TRIGONOMETRÍA

Y... ¡comenzamos el segundo trimestre!
La trigonometría consiste en el cálculo de lados y ángulos en un triángulo.
Para ello debemos saber las razones trigonométricas de un triángulo:

Con ello podemos calcular el seno, coseno y la tangente:
-El seno de un ángulo es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa:

                                           SENO= CATETO OPUESTO/HIPOTENUSA

-El coseno de un ángulo es la razón que existe entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa:

                                                COSENO= CATETO ADYACENTE/ HIPOTENUSA

- La tangente de un ángulo es la razón que existe entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente:
                                    TANGENTE= CATETO OPUESTO/ CATETO ADYACENTE

A partir de estas 3 razones podemos definir otras 3 inversas a ellas:

• Cosecante de un ángulo es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto opuesto:

                                                 COSECANTE= HIPOTENUSA/ CATETO OPUESTO

• Secante de un ángulo es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente:

                                             SECANTE= HIPOTENUSA/CATETO ADYACENTE

• Cotangente de un ángulo es la razón que existe entre el cateto adyacente y el cateto opuesto:

                                      COTANGENTE=CATETO ADYACENTE/CATETO OPUESTO

EJERCICIOS DEL EXAMEN

El jueves pasado, realizamos el examen trimestral correspondido a esta asignatura. La primera parte del examen consistía en hacerlo por grupos de 5 personas, trabajado previamente al examen ya que nunca habíamos hecho un examen grupal; el resultado de dicho examen fue buena ya que al trabajar un examen en grupo nos podíamos ayudar unos a otros y así parecer más fácil.

La segunda parte de este examen es realizar 2 ejercicios por persona y publicarlo en el blog así que allá voy:

 EJERCICIO 1º:

EJERCICIO 2º:

POLINOMIOS:

Para poder definir lo que es un polinomio hemos ido definiendo y nombrando cada parte de estos.

Por lo que un polinomio lo definimos como una expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios. 

Ejemplo: x³+5x²+9x+4

A partir de los polinomios podemos sacar lo que es el valor numérico de un polinomio, la raíz de un polinomio y una función polinómica.

TEMA 2- ÁLGEBRA: Polinomios, Ecuaciones y Sistemas.

Como introducción del nuevo tema, hemos realizado unos ejercicios para ver si aún recordábamos algo sobre estas cuestiones.

Este ejercicio consiste en calcular el cociente y el resto de cada una de esas divisiones, las cuales se resuelven por medio de la regla de Ruffini; este método os lo explicaré más adelante una vez que lo hayamos dado primero en clase. 

RACIONALIZAR:

Es un proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción.

Estos son los procedimientos:

Para entender mejor este procedimiento hemos hecho unos ejercicios en los que se podía resolver mediante racionalización o "simplificando" la fracción.

A través de dichos ejemplos, vemos que tanto racionalizando como "simplificando" las fracciones queda el mismo resultados de ambas formas. Por lo que podeís resolver de la manera que os parezca mas sencilla.

RAZONAMIENTO DE LOS NÚMEROS RADICALES:

Un número es radical si:

Se dice que todo número racional es radical pero esta afirmación no es cierta para unos determinados números como son: el número pi, el número e y el número de oro, ya que no son racionales pero si radicales.

De esa teoría llegamos a la proposición:

Afirma que si p pertenece a los número racionales, entonces, p pertenece a los números reales.

Para comprender estas teorías mejor hemos creado este cuadro que explica que los números reales abarcan toda la parte de los números racionales y una pequeña parte de los irracionales; dentro de este cuadro también están los números algebraicos al cual pertenece el número de oro; y la otra parte que son los números irracionales a los cuales pertenecen el número pi y el número e, y todo este conjunto forman los números REALES.

ECUACIÓN DIOFÁNTICA Y TERNAS PITAGÓRICAS

Las ternas pitagóricas son 3 números naturales que demuestran el teorema de Pitágoras y verifican la ecuación: 

La ecuación diofántica es aquella que esta planteada con números enteros y que su resultado es también un número entero.

NÚMEROS RADICALES Y RACIONALES

Hoy, nuestro profesor nos ha estado hablando de los números radicales, teníamos planteado un ejercicio del día anterior, el cual había que demostrar si era radical o no y por qué pensábamos que era esa la respuesta correcta.
El ejercicio era este: 

Y hemos llegado a la conclusión de que no es un número radical ya que es una suma de dos números racionales y el resultado no daría un número entero, si no la misma operación.

Como el número en sí no era radical, nos ha propuesto demostrar que si elevábamos este número al cuadrado, el resultado ahora era radical o no.
Para ello necesitamos conocer el triángulo de Pascal y  las reglas de los productos notables.

                                                                            

TRIÁNGULO DE PASCAL

PRODUCTOS NOTABLES

El ejercicio planteado ha sido este:

Al realizar el ejercicio hemos comprobado que no pertenece a los números radicales ya que el resultado vuelve a dar una suma de un número entero y un número racional en este caso y es una operación no un número radical.