DERIVADAS 3.

• Función derivada de la función inversa o derivada del producto

• Derivada del cociente

1. Proposición: f,g derivables ⇒ f/g derivables
2. Fómula:

     3. Demostración de la fórmula:

EJERCICIO:

• Función derivada de la función exponencial:

 EJERCICIO 1:

EJERCICIO 2:

• Regla de la cadena o derivación de la composición de funciones:

1. Proposición: f, g derivables ⇒ fog derivables
2. Fórmula: 

EJERCICIO:

fog:

gof:

• Función derivada de la función recíproca:

Derivada:

• Derivada de la función logarítmica:

Fórmula:

EJERCICIOS:

Reflexión del examen del pasado 14 de abril.

PRE-EXAMEN:
Este examen fue realizado por parejas y mi pareja fue Icíar Barrocal. Para preparar dicho examen quedamos varios días para trabajar los dos exámenes para casa, de los cuales algunos ejercicios nos resultaron algo difíciles por su complejidad pero conseguimos resolverlos finalmente.

EXAMEN:
Mi compañera y yo nos hemos dividido la corrección por lo que yo presentaré los míos:

Ejercicio 4: (4/5)

a. Este apartado nos resultó algo complicado de deducir ya que no sabíamos muy bien que ejemplos podíamos poner. Finalmente probando con varias funciones pudimos sacarlo y conseguimos llegar a la conclusión de que el Domf=Domg.

b. Este apartado no nos costó mucho resolverlo, hallamos fog pero nos faltó hallar gof, aunque solamente calculando fog pudimos deducir fácilmente que si que es una función lineal.

c. Este apartado esta bien entero gracias a una pequeña pista que nos dio nuestro profesor.

d. En este apartado nos pasó lo mismo que en el apartado b, solamente calculamos fog.

Ejercicio 5:

a. En este apartado las asíntotas verticales y las horizontales están bien calculadas pero las oblicuas están mal. (2/3)

b. Al no saber que era una función a trozos nos complicamos un poco más en este apartado. El dominio está bien; las asíntotas faltan las horizontales; y la continuidad también está bien ya que es continua por ser operaciones de funciones continuas. (3.5/6)

c. Nos ayudamos de GEOGEBRA para poder hacer el estudio de la función. El dominio está mal ya que pusimos que eran todos los reales, la gráfica está bien, pusimos que es inyectiva, que es continua, la imagen y sobreyectividad están bien, las asíntotas también ya que excluimos tanto en las oblicuas como en las horizontales el caso de cuando tiende a +∞ y si que tiene verticales, la acotación y monotonía están bien y faltaría la convexidad, extremos absolutos y relativos, y los signos y ceros. (7/10)

DERIVADAS 2.
1. FUNCIÓN CONSTANTE

 Derivada en x:

 La derivada de una función constante es 0.

2.FUNCIÓN IDENTIDAD

Derivada en x:

3.FUNCIÓN LINEAL.

 Derivada en x:

4. FUNCIÓN AFÍN.

Derivada en x:

• Proposición 1º:

       Si tengo 2 funciones f y g derivables, implica que f+g también es derivable y la derivada de la            suma será la suma de las derivadas.

Demostración de la proposición:

• Proposición 2º:

5. FUNCIÓN POTENCIAL.

• EJERCICIOS

INTRODUCCIÓN DE DERIVADAS.

• Tasa de variación instantánea:

• Una función es derivada cuando es derivable en todos los puntos de su dominio.

• Derivada lateral de un función f en xº:

• Proposición: si una función es derivable en xº entonces es derivable por la izquierda y por la derecha en xº.

Función derivada de f (f ')

• Relación entre el dominio de f y f '.

Cuando la f es derivable:

 Cuando la f no es derivable:

• Ejercicio de aplicación de la tasa de variación media:

• Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto:

Observaciones:

1.  TVM1= TVM2 porque acaban en el mismo punto.
2. TVM (g[ x1 , x2 ]
3. La secante en el límite termina siendo la tangente.

• Ecuación de la recta tangente

 Punto: [x1 , g(x1)]

Pendiente: g(x1)

• Ecuación de la recta normal (recta perpendicular a la tangente)

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.

m*m'= -1

 

• Gráficas donde la derivada es igual a 0:

• Si una función es derivable por la izquierda y por la derecha en un punto y las derivadas laterales coinciden, eso no implica que haya recta tangente.

COMPARACIÓN DE INFINITOS.
Tres ejemplos de ∞ en +∞ son:

• Funciones potenciales (solo las que tienen el exponente positivo)
• Funciones exponenciales (si la base es mayor que 1)
• Funciones logaritmicas

Comparación de funciones potenciales:

Comparación de exponenciales:

EJERCICIOS DE LIMITES E INDETERMINACIONES.

EJERCICIO 1:

EJERCIO 2:

TEOREMA DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: