EXAMEN PARA CASA TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO 1:

Incentro: punto de intersección de las bisectrices de 2 ángulos interiores cualesquiera de dicho triángulo.

Para poder saber que es o no una corona circular debemos calcular el área que se encuentra entre ambas circunferencias.

Para calcular el área total de la figura, primero calculamos el lado c y así obtener el radio del círculo grande y conseguir el área; calculamos el radio del círculo pequeño mediante la tangente de B y de ahí obtener dicho área; restamos ambas áreas y obtenemos el área entre los 2 círculos.
 
No es una corona circular ya que las dos circunferencias no son concéntricas.

Fórmula de Herón

En las expresiones anteriores, es necesario conocer las medidas de alguno de sus lados y de los ángulos; para ello, empleamos la fórmula de Herón.

Expresiones del área de un triángulo

Sabemos que el área de un triángulo es:

A= (b*h)/2

Utilizando la expresión del valor del seno del ángulo A en el triángulo obtenemos:

                                                           sen A= h/b

Llevando el valor de la altura (h) a la fórmula del área de un triángulo:

• El área de un triángulo puede calcularse mediante el producto de un medio por un lado, por otro lado y por el seno del ángulo comprendido entre ambos lados.

Resolución de triángulos cualesquiera:

Resolver un triángulo cualquiera es determinar en él todos sus elementos conocidos.

• Para resolver un triángulo cualquiera, tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:

1. La suma de sus ángulos es igual a 180º.
2. El teorema de los senos.
3. El teorema del coseno.

Teorema del coseno.

El teorema del coseno afirma que, en un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

DEMOSTRACIÓN:

Dado el triángulo: 

Resolvemos:

El teorema del coseno se utiliza en todos aquellos casos en los cuales intervienen triángulos de los que conocemos más lados que ángulos. En los otros casos utilizamos el teorema del seno.

Con el teorema del coseno podemos calcular:

1. Un ángulo de un triángulo del que son conocidos sus tres lados.
2. Un lado del triángulo conocidos los otros dos y el ángulo comprendido entre ellos.

Teorema de los senos.

El teorema de los senos afirma que, en un triángulo cualquiera, los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

DEMOSTRACIÓN:

Dado el triángulo:

Tenemos: 

El teorema de los senos se emplea para:

1. Calcular el lado de un triángulo, conociendo su ángulo opuesto, otro lado y su ángulo opuesto.
2. Calcular un ángulo, conociendo su lado opuesto, otro ángulo y su lado opuesto.

Reducción de un ángulo al primer giro y al primer cuadrante.

• Dos ángulos α, k * 360º + α, que difieren en un número entero de vueltas, son equivalentes:

y sus razones trigonométricas coinciden.

• Reducir un ángulo al primer cuadrante es expresar sus razones trigonométricas en función de las razones trigonométricas de un ángulo del primer cuadrante.